#初中数学学习#
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02单元要点
如果说要评选一个图形，这是图形是我们初中三年或者是学生生活中最值得记忆的图形，那么这个图形当之无愧的应该是直角三角形。
首先从直角三角形本身来看，它有一个角是直角，有两条直角边，有一条斜边。它的两个锐角互余，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，它斜边上的中线等于斜边的一半，如果有一个角等于30度，它所对的直角边等于斜边的一半，它的边与角具有三角函数关系。
再次，直角三角形是初中几何中解决图形与数量关系最基本的图形，无论是三角形，还是四边形，多边形问题，都需要转化为直角三角形问题进行解决。
在本单元中，过平移、旋转、对称和全等三角形等知识点，考查相关概念的判定和性质是我们最常见的考法。很多时候，也会通过直角三角形自身的属性，结合全等三角形来证明线段和角相等，是初中几何图形中实现图形与数量关系转化的最重要的工具之一．
让我们带着对直角三角形进行全面认识的目标，一起去看一看近几年的中考题型吧。
03中考真题精选
04参考答案
05经典题目解析
一、选择题
1.分析先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
2. 分析作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．
3. 分析由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
4. 分析根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可.
5. 分析根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．解答解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选：B．
6. 分析将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
7. 分析先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出DE是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．
8. 分析如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；解答解：如图连接CD，AC，DG，AG．
9. 分析作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．
10. 分析如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题。
11. 分析根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．点评本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
12. 分析依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．点评本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
二、填空题
13. 分析分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时.
14. 分析依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
15. 分析因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点A的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半．故先设出各点A的纵坐标，可以表示A的横坐标，代入解析式可求点A的纵坐标，规律可求．
16. 分析当与点重合时和与重合时，根据的位置，可知的运动路径是的长；由已知条件可以推导出是直角三角形，且，在中，求出即可求解．点评本题考查点的轨迹；能够根据点的运动情况，分析出点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键．
17. 分析分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．点评本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
18. 分析根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE＝AB＝5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为5×4＝20．点评本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19. 分析根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质求的度数．点评本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．
20. 分析过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解．点评本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长是解题的关键．
21. 分析，即可求出，，解直角三角形即可求得．点评本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得是含角的直角三角形是解题的关键．
三、解答题
22. 分析（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；点评本题考查尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方法是解题的关键．
23.思路分析（1）由M为AB中点，延长EM交AD于F，从而△AMF≌△MBE，从而得到△DEF为等腰直角三角形．从而DM＝ME；（2）延长EM交AD于F，从而△AMF≌△MBE，从而得到△DEF为等腰三角形，再根据三角函数得到DM与ME的数量关系；（3）延长EM交AD于F，从而△AMF≌△MBE，从而得到△DEF为等腰三角形，再根据三角函数得到DM与ME的数量关系．
点评本题考查了全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质。全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题还用到等腰三角形的性质和判定以及锐角三角函数等知识．
24. 分析（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；思路二、同思路一的方法即可得出结论；（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．
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