事实上，欧拉公式有两个部分：平面和空间：

　　空间欧拉公式

　　V F-E=X(P)，v是多面体P的顶点数，F是多面体P的面数，E是多面体P的边数，X(P)是多面体P的欧拉特征。

　　X(P)=2如果P能同胚于一个球面(可以理解为在球面上膨胀拉伸)，X(P)=2-2h如果P同胚于一个有h个环柄的球面。

　　X(P)，称为P的欧拉特征，是一个拓扑不变量，即无论如何经历拓扑形变都不会改变的量，这是拓扑研究的范围。

　　在多面体：中的应用

　　简单多面体的顶点数v、面数f和边数e之间存在关系

　　V F-E=2

　　这个公式叫做欧拉公式。该公式描述了简单多面体的顶点数、面数和边数的唯一规律。

　　平面欧拉公式

　　V F-E=X(P)，其中v是图P的不动点个数，F是图P中的区域个数，E是图的边数。

　　在非简单多面体中，欧几里得公式的形式是：

　　V-E F-H=2(C-G)

　　其中h指平面上的不完全数，c指独立多面体数，g指穿透多面体数。

　　证明

　　(1)将多面体(图中的)视为具有薄橡胶表面的空心实体。

　　(2)通过去掉多面体的一个面，可以在平面上完全展开，在平面上得到一条直线，如图。假设F ‘、E ‘和V ‘分别表示这个平面图的(简单)多边形、边和顶点的个数，我们只需要证明F’-E’ V’=1。

　　(3)对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，将对角线依次引入到不是三角形的多边形中，直到变成一些三角形，如图中所示。每引入一条对角线，F ‘和E ‘增加1，V ‘不变，所以F’-E’ V ‘不变。因此，当完全分成三角形时，F’-E’ V ‘的值保持不变。有些三角形在平面图形的边界上有一边或两边。

　　(4)如果一个三角形在边界上有一条边，如图4中的ABC，则去掉这个三角形不属于其他三角形的边，即AC，从而去掉ABC。这样，F ‘和E ‘各减1，V ‘不变，所以F’-E’ V ‘也不变。

　　(5)如果一个三角形在边界上有两条边，如图5中的DEF，则去掉这个三角形不属于其他三角形的边，即DF和EF，从而去掉DEF。这样，F ‘减1，E ‘减2，V ‘减1，所以F’-E’ V ‘不变。

　　(6)继续这样，直到只剩下一个三角形，如图。此时F’=1，E’=3，V’=3，所以F’-E’ V’=1-3 3=1。

　　(7)因为原来的图形是连在一起的，中间引入的变化并没有破坏这个事实，最后图形还是连在一起的，所以最后不会像图中那样向外分散成三角形。

　　(8)如果看起来像图中的8，我们可以去掉其中一个三角形，即一个三角形，三条边，两个顶点。所以F’-E’ V ‘保持不变。

　　即F’-E’ V’=1

　　成立，所以欧拉公式：

　　F-E V=2

　　领证。

　　初等数论和欧拉公式

　　欧拉函数：(n)是所有小于N的正整数中与N互质的整数个数，N为正整数。欧拉公式欧拉证明了以下公式：

　　如果n的标准素分解公式是P1 a1 * p2 a2 *.* pm am，全PJ (j=1，2，m)是质数，它们彼此不相等。有

　　(n)=n(1-1/P1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　可以用包含排除原理来证明。

　　质量解决方案

　　欧拉公式

　　有四个欧拉公式

　　(1)分数：

　　a^r/(a-b)(a-c(b^r/(b-c)(b-a)c^r/(c-a)(c-b)

　　当r=0，1时，公式的值为0

　　当r=2时，该值为1

　　r=3时，值为A B C。

　　(2)复数

　　当e i=cos isin时，我们得到：

　　sin=(e^i-e^-i)/2i

　　cos=(e^i e^-i)/2

　　这个函数连接了两个完全不同的函数——指数函数和三角函数，在数学上被称为“桥梁”。

　　当=时，变成E I 1=0，连接了数学中最重要的E，I，，1，0。

　　(3)三角形

　　设r为三角形外接圆的半径，r为内切圆的半径，d为外中心到内中心的距离，则：

　　d^2=R^2-2Rr

　　(4)多面体

　　设v为顶点数，e为边数，f为面数，那么

　　v-e f=2-2p

　　p是亏格，2-2p是欧拉特征，例如

　　p=0的多面体称为第零多面体

　　p=1的多面体称为第一类多面体

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